Ո՞րն է ֆունկցիայի սահմանը

Այս հրապարակման մեջ մենք կքննարկենք մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացություններից մեկը՝ ֆունկցիայի սահմանը՝ դրա սահմանումը, ինչպես նաև տարբեր լուծումներ՝ գործնական օրինակներով:

Ֆունկցիայի սահմանի որոշում

Գործառույթների սահմանաչափ – այն արժեքը, որին հակված է այս ֆունկցիայի արժեքը, երբ նրա արգումենտը ձգվում է դեպի սահմանափակող կետ:

Սահմանափակ գրառում.

• սահմանաչափը նշվում է պատկերակով սահմանափակ;
• ներքեւում ավելացվում է, թե ինչ արժեքի է ձգտում ֆունկցիայի արգումենտը (փոփոխականը): Սովորաբար սա x, բայց պարտադիր չէ, օրինակ.x→ 1″;
• ապա ֆունկցիան ինքնին ավելացվում է աջ կողմում, օրինակ.

  

Այսպիսով, սահմանաչափի վերջնական գրառումն այսպիսի տեսք ունի (մեր դեպքում).

Կարդում է նման «Ֆունկցիայի սահմանը, քանի որ x-ը ձգտում է միասնության».

x1 - սա նշանակում է, որ «x»-ը հետևողականորեն ընդունում է արժեքներ, որոնք անսահմանորեն մոտենում են միասնությանը, բայց երբեք չեն համընկնի դրա հետ (այն չի հասնի):

Որոշման սահմանները

Տրված թվով

Եկեք լուծենք վերը նշված սահմանը. Դա անելու համար պարզապես փոխարինեք միավորը ֆունկցիայի մեջ (որովհետև x→ 1):

Այսպիսով, սահմանը լուծելու համար նախ փորձում ենք տրված թիվը պարզապես փոխարինել դրա տակ գտնվող ֆունկցիայի մեջ (եթե x-ը հակված է կոնկրետ թվի):

Անսահմանության հետ

Այս դեպքում ֆունկցիայի արգումենտը անսահմանորեն մեծանում է, այսինքն. «X» ձգտում է դեպի անսահմանություն (∞): Օրինակ:

If x→∞, ապա տրված ֆունկցիան հակված է մինուս անսահմանության (-∞), քանի որ.

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 և այլն:

Մեկ այլ ավելի բարդ օրինակ

Այս սահմանը լուծելու համար պարզապես ավելացրեք արժեքները x և նայեք այս դեպքում ֆունկցիայի «վարքագծին»:

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Այսպիսով, հանուն «X»ձգտում դեպի անսահմանություն, ֆունկցիան x² + 3x - 6 աճում է անորոշ ժամանակով:

Անորոշությամբ (x-ը ձգտում է դեպի անսահմանություն)

Տվյալ դեպքում խոսքը սահմանների մասին է, երբ ֆունկցիան կոտորակ է, որի համարիչն ու հայտարարը բազմանդամներն են։ Որտեղ «X» ձգտում է դեպի անսահմանություն.

Example: եկեք հաշվարկենք ստորև նշված սահմանը.

լուծում

Ե՛վ համարիչի, և՛ հայտարարի արտահայտությունները հակված են դեպի անսահմանություն։ Կարելի է ենթադրել, որ այս դեպքում լուծումը կլինի հետևյալը.

Այնուամենայնիվ, ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ: Սահմանը լուծելու համար մենք պետք է անենք հետևյալը.

1. Գտեք x համարիչի համար ամենաբարձր հզորությունը (մեր դեպքում դա երկու է):

2. Նմանապես, մենք սահմանում ենք x հայտարարի համար ամենաբարձր հզորությունը (նաև հավասար է երկու):

3. Այժմ և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը բաժանում ենք x ավագ աստիճանով։ Մեր դեպքում երկու դեպքում էլ՝ երկրորդում, բայց եթե տարբեր լինեին, մենք պետք է բարձրագույն աստիճան վերցնեինք։

4. Ստացված արդյունքում բոլոր կոտորակները հակված են զրոյի, հետևաբար պատասխանը 1/2 է։

Անորոշությամբ (x-ը ձգտում է որոշակի թվի)

Ե՛վ համարիչը, և՛ հայտարարը բազմանդամներ են, սակայն. «X» հակված է կոնկրետ թվի, ոչ թե անսահմանության:

Այս դեպքում մենք պայմանականորեն փակում ենք մեր աչքերը հայտարարի զրոյական լինելու վրա։

Example: Եկեք ստորև գտնենք ֆունկցիայի սահմանը։

լուծում

1. Նախ 1 թիվը փոխարինենք ֆունկցիայի մեջ, որին «X». Մենք ստանում ենք մեր դիտարկած ձևի անորոշությունը:

2. Այնուհետև համարիչը և հայտարարը բաժանում ենք գործոնների: Դա անելու համար կարող եք օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևերը, եթե դրանք հարմար են, կամ.

Մեր դեպքում արտահայտության արմատները համարիչում (2x² - 5x + 3 = 0) 1 և 1,5 թվերն են։ Հետևաբար, այն կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ. 2 (x-1) (x-1,5).

Հայտարար (x–1) սկզբում պարզ է:

3. Մենք ստանում ենք այսպիսի փոփոխված սահման.

4. Կոտորակը կարող է կրճատվել (x–1):

5. Մնում է միայն 1 թիվը փոխարինել սահմանի տակ ստացված արտահայտության մեջ.