Բովանդակություն
Այս հրապարակման մեջ մենք կքննարկենք աֆին երկրաչափության դասական թեորեմներից մեկը՝ Ցևայի թեորեմը, որը նման անուն ստացավ ի պատիվ իտալացի ինժեներ Ջովանի Չևայի: Ներկայացված նյութը համախմբելու համար կվերլուծենք նաև խնդրի լուծման օրինակ։
Թեորեմի հայտարարություն
Տրված եռանկյունը Այբբենարան, որում յուրաքանչյուր գագաթ միացված է հակառակ կողմի մի կետի։
Այսպիսով, մենք ստանում ենք երեք հատված (AA', BB' и CC'), որոնք կոչվում են cevians.
Այս հատվածները հատվում են մի կետում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե գործում է հետևյալ հավասարությունը.
|ԵՎ'| | | |ՉԻ| | | |ԿԲ'| = |մ.թ.ա.| | | |SHIFT'| | | |AB'|
Թեորեմը կարող է ներկայացվել նաև այս ձևով (որոշվում է, թե ինչ հարաբերությամբ են կետերը բաժանում կողմերը).
Սևայի եռանկյունաչափական թեորեմը
Նշում. բոլոր անկյունները կողմնորոշված են:
Խնդրի օրինակ
Տրված եռանկյունը Այբբենարան կետերով TO', Բ ' и C' կողմերի վրա BC, AC и AB, համապատասխանաբար։ Եռանկյան գագաթները միացված են տրված կետերին, իսկ գոյացած հատվածներն անցնում են մեկ կետով։ Միաժամանակ միավորները TO' и Բ ' վերցված համապատասխան հակադիր կողմերի միջնակետերում: Պարզեք, թե ինչ հարաբերությամբ է կետը C' բաժանում է կողմը AB.
լուծում
Եկեք նկարենք գծապատկեր՝ ըստ խնդրի պայմանների։ Մեր հարմարության համար մենք ընդունում ենք հետևյալ նշումը.
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Մնում է միայն կազմել հատվածների հարաբերակցությունը ըստ Ceva թեորեմի և դրա մեջ փոխարինել ընդունված նշումը.
Կոտորակները փոքրացնելուց հետո ստանում ենք.
Հետեւաբար, AC' = C'B, այսինքն կետ C' բաժանում է կողմը AB կիսով չափ.
Հետեւաբար, մեր եռանկյունում հատվածները AA', BB' и CC' մեդիաններ են։ Խնդիրը լուծելով՝ մենք ապացուցեցինք, որ դրանք հատվում են մեկ կետում (վավեր է ցանկացած եռանկյունու համար):
Նշում: օգտագործելով Սևայի թեորեմը, կարելի է ապացուցել, որ մի կետում գտնվող եռանկյան մեջ կիսորդները կամ բարձրությունները նույնպես հատվում են: