Կոմպլեքս թվի արմատի հանում

Այս հրապարակման մեջ մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես կարող եք վերցնել բարդ թվի արմատը, և ինչպես դա կարող է օգնել լուծելու քառակուսի հավասարումներ, որոնց դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է:

Կոմպլեքս թվի արմատի հանում

Քառակուսի արմատ

Ինչպես գիտենք, անհնար է բացասական իրական թվի արմատը վերցնել։ Բայց երբ խոսքը վերաբերում է բարդ թվերին, ապա այս գործողությունը կարող է իրականացվել: Եկեք պարզենք այն:

Ենթադրենք՝ ունենք թիվ z = -9: For √-9 երկու արմատ կա.

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3i

Ստացված արդյունքները ստուգենք՝ լուծելով հավասարումը z² = -9, չմոռանալով դա i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ ես² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ ես² = 9 ⋅ (-1) = -9

Այսպիսով, մենք դա ապացուցեցինք -3i и 3i արմատներ են √-9.

Բացասական թվի արմատը սովորաբար գրվում է այսպես.

√-1 = ± i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√16 - = ±4i եւ այլն:

Արմատ n-ի հզորությամբ

Ենթադրենք մեզ տրված են ձևի հավասարումներ z = ⁿ√w… Այն ունի n արմատներ (z₀Է,₁Է,₂,…, զ_n-1), որը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով.

|ը| կոմպլեքս թվի մոդուլն է w;

φ - նրա փաստարկը

k պարամետր է, որն ընդունում է արժեքները. k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Բարդ արմատներով քառակուսի հավասարումներ

Բացասական թվի արմատը հանելը փոխում է uXNUMXbuXNUMXb-ի սովորական գաղափարը: Եթե ​​տարբերակիչ (D) փոքր է զրոյից, ապա իրական արմատներ չեն կարող լինել, բայց դրանք կարող են ներկայացվել որպես բարդ թվեր։

Օրինակ

Եկեք լուծենք հավասարումը x² - 8x + 20 = 0.

լուծում

a = 1, b = -8, c = 20

D = բ² - 4ac = 64 – 80 = -16

D <0, բայց մենք դեռ կարող ենք բացասական տարբերակիչի արմատը վերցնել.

√D =16 - = ±4i

Այժմ մենք կարող ենք հաշվարկել արմատները.

x_1,2 = (-b ± √D)/2ա = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Հետեւաբար, հավասարումը x² - 8x + 20 = 0 ունի երկու բարդ զուգակցված արմատներ.

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i