Կոմպլեքս թվի բարձրացում բնական հզորության

Այս հրապարակման մեջ մենք կքննարկենք, թե ինչպես կարելի է կոմպլեքս թիվը հասցնել հզորության (այդ թվում՝ օգտագործելով De Moivre բանաձևը): Ավելի լավ հասկանալու համար տեսական նյութը ուղեկցվում է օրինակներով։

Կոմպլեքս թիվը հասցնելով հզորության

Նախ, հիշեք, որ բարդ թիվն ունի ընդհանուր ձև. z = a + bi (հանրահաշվական ձև):

Այժմ մենք կարող ենք ուղղակիորեն անցնել խնդրի լուծմանը։

Քառակուսի համարը

Մենք կարող ենք աստիճանը ներկայացնել որպես նույն գործոնների արտադրյալ, այնուհետև գտնել դրանց արտադրյալը (միևնույն ժամանակ հիշելով դա i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Օրինակ 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Կարող եք նաև օգտագործել, մասնավորապես, գումարի քառակուսին.

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – բ²

Նշում: Նույն կերպ, անհրաժեշտության դեպքում, կարելի է ձեռք բերել տարբերության քառակուսու բանաձևեր, գումարի / տարբերության խորանարդը և այլն:

N-րդ աստիճան

Բարձրացրեք բարդ թիվ z բարի n շատ ավելի հեշտ է, եթե այն ներկայացված է եռանկյունաչափական տեսքով:

Հիշեցնենք, որ, ընդհանուր առմամբ, թվի նշումն այսպիսի տեսք ունի. z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Ցուցադրման համար կարող եք օգտագործել De Moivre-ի բանաձեւը (այսպես կոչվել է անգլիացի մաթեմատիկոս Աբրահամ դե Մոիվրի անունով).

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Բանաձևը ստացվում է եռանկյունաչափական ձևով գրելով (մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները ավելացվում են):

Օրինակ 2

Բարձրացրեք բարդ թիվ z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) մինչև ութերորդ աստիճանը։

լուծում

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin (8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).