Ստյուարտի թեորեմ՝ ձևակերպում և օրինակ լուծումով

Այս հրապարակման մեջ մենք կքննարկենք Էվկլիդեսյան երկրաչափության հիմնական թեորեմներից մեկը՝ Ստյուարտի թեորեմը, որը նման անուն ստացավ ի պատիվ անգլիացի մաթեմատիկոս Մ. Ստյուարտի, ով դա ապացուցեց: Մանրամասն կվերլուծենք նաև խնդրի լուծման օրինակ՝ ներկայացված նյութը համախմբելու համար։

Թեորեմի հայտարարություն

Դան եռանկյունին Այբբենարան. Նրա կողքին AC կետը վերցված է D, որը միացված է գագաթին B. Մենք ընդունում ենք հետևյալ նշումը.

• AB = ա
• BC = բ
• BD = p
• AD = x
• DC = և

Այս եռանկյունու համար հավասարությունը ճշմարիտ է.

Թեորեմի կիրառում

Ստյուարտի թեորեմից կարելի է բխել եռանկյան միջանկյալներն ու կիսատները գտնելու բանաձևերը.

1. Բիսեկտորի երկարությունը

Թույլատրել l_c դեպի կողմը գծված կիսադիրն է c, որը բաժանված է հատվածների x и y. Վերցնենք եռանկյան մյուս երկու կողմերը որպես a и b… Այս դեպքում:

2. Միջին երկարությունը

Թույլատրել m_c միջնագիծը շրջված է դեպի ներքև c. Եռանկյան մյուս երկու կողմերը նշանակենք որպես a и b… Հետո.

Խնդրի օրինակ

Տրված եռանկյունը ABC Կողքի վրա AC հավասար է 9 սմ, կետը վերցված է D, որը բաժանում է կողմն այնպես, որ AD երկու անգամ ավելի երկար DC. Գագաթը միացնող հատվածի երկարությունը B և կետ D, 5 սմ է։ Այս դեպքում ձևավորված եռանկյունը ԱՄՆ- հավասարաչափ է: Գտեք եռանկյան մնացած կողմերը Այբբենարան.

լուծում

Խնդրի պայմանները պատկերենք գծագրի տեսքով։

AC = AD + DC = 9 սմ. AD ավելի DC երկու անգամ, այսինքն AD = 2DC.

Հետևաբար, 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX սմ. Այսպիսով, DC = 3 սմ, AD = 6 սմ.

Քանի որ եռանկյուն ԱՄՆ- – հավասարաչափ և կողային AD 6 սմ է, ուստի դրանք հավասար են AB и BDIe AB = 5 սմ.

Մնում է միայն գտնել BCՍտյուարտի թեորեմից ստանալով բանաձևը.

Մենք փոխարինում ենք հայտնի արժեքները այս արտահայտության մեջ.

Այս կերպ, BC = √‎52 ≈ 7,21 սմ.