Ֆերմանի փոքր թեորեմը

Այս հրապարակման մեջ մենք կքննարկենք ամբողջ թվերի տեսության հիմնական թեորեմներից մեկը.  Ֆերմանի փոքր թեորեմըանվանվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Պիեռ դե Ֆերմայի պատվին: Կվերլուծենք նաև խնդրի լուծման օրինակ՝ ներկայացված նյութը համախմբելու համար։

Թեորեմի հայտարարություն

1. Նախնական

If p պարզ թիվ է a ամբողջ թիվ է, որը չի բաժանվում pապա a^p-1 - 1 բաժանվում p.

Պաշտոնապես գրված է այսպես. a^p-1 ≡ 1 (դեմ) p).

Նշում: Պարզ թիվը բնական թիվ է, որը բաժանվում է միայն XNUMX-ի և ինքն իրեն առանց մնացորդի:

Օրինակ `

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• թիվ 15 բաժանվում 5 առանց մնացորդի.

2. Այլընտրանք

If p պարզ թիվ է, a ցանկացած ամբողջ թիվ, ապա a^p համեմատելի է a modulo p.

a^p A (դեմ) p)

Ապացույցներ գտնելու պատմություն

Պիեռ դե Ֆերման թեորեմը ձևակերպել է 1640 թվականին, բայց ինքը դա չի ապացուցել։ Ավելի ուշ դա արեց Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը՝ գերմանացի փիլիսոփա, տրամաբան, մաթեմատիկոս և այլն: Ենթադրվում է, որ նա արդեն ուներ այդ ապացույցը մինչև 1683 թվականը, թեև այն երբեք չի հրապարակվել: Հատկանշական է, որ թեորեմը Լայբնիցն ինքն է հայտնաբերել՝ չիմանալով, որ այն արդեն ավելի վաղ ձևակերպված է։

Թեորեմի առաջին ապացույցը հրապարակվել է 1736 թվականին, և այն պատկանում է շվեյցարացի, գերմանացի և մաթեմատիկոս ու մեխանիկ Լեոնհարդ Էյլերին։ Ֆերմայի փոքրիկ թեորեմը Էյլերի թեորեմի հատուկ դեպքն է։

Խնդրի օրինակ

Գտի՛ր թվի մնացորդը 2¹² on 12.

լուծում

Պատկերացնենք մի թիվ 2¹² as 2⋅2 թ¹¹.

11 պարզ թիվ է, հետևաբար, Ֆերմայի փոքրիկ թեորեմով մենք ստանում ենք.

2¹¹ ≡ 2 (դեմ) 11).

Հետեւաբար, 2⋅2 թ¹¹ ≡ 4 (դեմ) 11).

Այսպիսով, թիվը 2¹² բաժանվում 12 հավասար մնացորդով 4.